Zondagavond, een formule en een WK-finale

Laat op zondag 19 juli 2026 plaatste de wiskundige Levent Alpoge één polynomiale afbeelding en bedankte twee vrienden: de een omdat die de vraag had gesteld en de ander, schreef hij, omdat die tijdens de WK-finale had doorgewerkt. Die tweede vriend was Claude Fable 5. Het bericht had als tijdstempel 02:19 UTC op 20 juli. De formule erin was een tegenvoorbeeld bij het Jacobi-vermoeden, dat sinds 1939 openstond.

De afbeelding stuurt drie complexe variabelen naar drie complexe uitvoerwaarden. De Jacobi-determinant is -2, een constante ongelijk aan nul, en dat is precies de voorwaarde die volgens het vermoeden een polynomiale inverse zou garanderen. Zo'n inverse is er niet, want drie verschillende invoerpunten komen op hetzelfde punt uit: (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2) en (-1, 3/2, 13/2) gaan alle drie naar (-1/4, 0, 0).

Alpoge werkt bij Anthropic en schreef de vondst toe aan het model. Dat is het deel dat de sector de komende maand zal aanhalen. Het is niet het deel dat het meest uitmaakt voor wie een bedrijf leidt.

Wat Keller in 1939 opschreef

Het vermoeden was een belofte over terugrekenen. De Duitse wiskundige Ott-Heinrich Keller vroeg of een polynomiale afbeelding waarvan de Jacobi-determinant een van nul verschillende constante is, noodzakelijk een inverse heeft die zelf een polynoom is. Eenvoudiger gezegd: als een transformatie nergens plaatselijk informatie laat samenvallen, kun je dan altijd de invoer uit de uitvoer terughalen met dezelfde soort rekenkunde als op de heenweg.

87 jaar lang nam men aan dat het antwoord ja was en kon niemand het bewijzen. In de algebraïsche meetkunde gold het als een van die problemen die deelresultaten aantrekken, en speciale gevallen, en om de zoveel tijd een bewijs dat weer moest worden ingetrokken.

Het tegenvoorbeeld beslecht de vraag vanaf dimensie drie. Het geval van twee variabelen blijft open, en de pull request die de weerlegging formaliseerde zegt dat met zoveel woorden. Dat is een smaller resultaat dan de versie in de kop, en eerlijke verslaggeving moet dat verschil meenemen.

De controle kostte uren omdat iemand de vraag eerst had opgeschreven

Binnen een dag had Paul Lezeau het tegenvoorbeeld geformaliseerd in de bewijsassistent Lean en pull request 4474 geopend op de repository formal-conjectures van Google DeepMind, met de titel feat: add Jacobian disproof. Reviewers keurden hem goed. Een onafhankelijke audit die in dezelfde draad werd geplaatst bevestigde dat het bewijs geen sorry, geen native_decide en geen eigen axioma's bevat, en dat is de manier waarop de Lean-gemeenschap zegt dat er niets is aangenomen en niets is doorgelaten.

De snelheid kwam van de voorbereiding, niet van het model. De repository bevatte al een formele formulering van het Jacobi-vermoeden, waar mensen het over eens waren en die was opgeschreven voordat iemand er een tegenvoorbeeld tegenover kon zetten. Zoals het blog van het Xena Project het formuleerde: zodra mensen het erover eens zijn dat de formele formulering het vermoeden nauwkeurig weergeeft, is het triviaal om na te gaan of mogelijk door AI gegenereerde Lean-code werkelijk een bewijs of een weerlegging van het vermoeden vormt.

Lees die zin twee keer. Het harde, trage, menselijke deel gebeurde jaren eerder, toen iemand een zin uit 1939 omzette in machinaal controleerbare vorm. De bewering kwam op zondagavond binnen en was maandag beslecht omdat de acceptatietest al bestond.

Geverifieerd is niet begrepen

Hetzelfde blog is onomwonden over de grens daarvan. De volgende stap, staat er, is dat mensen precies begrijpen wat er in dit voorbeeld gebeurt. Een machine kan certificeren dat de drie punten samenvallen. Ze kan nog niemand vertellen waarom juist deze afbeelding, van alle afbeeldingen, degene was die een 87 jaar oude aanname brak. De beoordeling door vakgenoten bij een tijdschrift is evenmin afgerond, en een verificatie-preprint is geen tijdschrift.

Het is ook geen op zichzelf staand geval. Hetzelfde blog telt drie tegenvoorbeelden in drie maanden: het Erdos-vermoeden over eenheidsafstanden in mei, een vraag van Grothendieck over groepsschema's in juli en nu die van Keller. Timothy Gowers noemde dit de eerste keer dat een taalmodel een bekend probleem oploste waarvan hij buiten zijn eigen vakgebied had gehoord. Drie datapunten zijn een patroon in wording, geen bewezen patroon.

Schrijf de acceptatietest voordat u het model koopt

De overdraagbare les is procedureel, niet wiskundig. Bijna elke claim over wat AI kan die een ondernemer dit jaar kreeg voorgelegd, kwam binnen als een benchmarkscore die was gepubliceerd door de partij die het model verkoopt. Deze kwam binnen als een object dat een buitenstaander in een middag kon controleren, tegen een criterium dat was opgeschreven voordat de claim bestond, met een gereedschap dat noch aan het lab noch aan de indiener verantwoording schuldig is.

Dat is een specificatie die u kunt overnemen. Formuleer voor de volgende AI-inkoop het acceptatiecriterium in een vorm die te beoordelen is zonder medewerking van de leverancier: een vaste testverzameling die u zelf in handen houdt, een vooraf afgesproken scoringsregel, een uitvoerformaat dat een script onder uw beheer kan nakijken. Als het enige bewijs van prestatie een getal is dat de leverancier zelf heeft berekend, hebt u een persbericht gekocht.

Houd de tweede les naast de eerste. Het tegenvoorbeeld is gecertificeerd en nog altijd niet verklaard, en dat is precies de vorm van het meeste dat AI binnen een bedrijf oplevert: juist op een manier die u kunt testen, ondoorzichtig op een manier die u niet kunt controleren. Bouw op het eerste en zet mensen op het tweede.

Lees hierna: Onafhankelijke tests zetten Kimi K3 boven Fable 5  |  Googles vlaggenschipmodel is te laat en heeft geen nieuwe datum